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线性代数？从古至今！

早在几千年前，就有古人应用线性方程组解决问题，而如今，线性代数仍然应用广泛。

线性代数源于人们的观察。人们发现，很多对象都拥有相似的性质，比如：

  • 力可以被分解、合成。
  • 对于任意的 k,x0k,x_0，ksin⁡(x−x0)k \sin (x-x_0) 可以分解成 k1sin⁡x+k2cos⁡xk_1\sin x + k_2\cos x。

这些性质与所描述对象的 缩放、分解、叠加 等有关。线性代数把这些性质从具体对象中抽象出来，作为一个独立的学科来研究。在 OI 中，线性代数的知识可以直接用来解决问题，也可以用于优化算法、数据结构等。例如：

  • 用树剖维护线性基求链上最大异或和
  • 利用矩阵树定理把图的生成树计数问题转化为求矩阵的行列式
  • 用矩阵快速幂优化递推

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