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轻微触碰：导数

好高级的名字！

基本介绍​

我们在初二就学习了一次函数及其应用，也就是 f(x)=kx(k≠0)f(x)=kx(k\not =0)。虽然当时没讲，但是这里 kk 所表示的就是这个函数的斜率，我们可以轻松的理解随着这个值的增大，函数也逐渐变陡，即斜率更大。

一次函数的变化是线性的，但是对于二次函数来讲，它的变化并不是，那我们又该如何去衡量这个变化率？

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如图所示，我们对函数线上的每一个点去做切线，对于每一条切线，切线的斜率是越来越大的，这样一来我们便可以引出导数的概念。

点斜式求一次函数斜率​

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如图，我们在一个一次函数上找到两点：

(x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2)

两个点的表达式可以写为：y1=kx1+by_1=kx_1+b 和 y2=kx2+by_2=kx_2+b。变形： y1−y2=k(x1−x2)y_1-y_2=k(x_1-x_2)，可得：

k=y1−y2x1−x2k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}

概念​

这个就是求斜率的简单公式，可以读出一次函数的斜率就是两点的横纵坐标之差作商，那么如何同样地去表达二次函数的“抛物线”呢？其切线又该如何去求？因此我们就引出导数的概念。

备注

重要的概念 / 笔记 1

假设函数 y=f(x) 在点 x0 处有定义当自变量 x 在 x0 处取得增量 Δx相应的增量取得 Δy 如果 ΔyΔx 在 Δx→0时的极限存在，那么 y=f(x) 在 x0 处可导。\begin{matrix} \textmd{假设函数}\ y=f(x)\ \textmd{在点}\ x_0\ \textmd{处有定义}\\[5pt] \textmd{当自变量}\ x\ \textmd{在}\ x_0\ \textmd{处取得增量}\ \Delta x\\[5pt] \textmd{相应的增量取得}\ \Delta y\ \textmd{如果}\ \frac{\Delta y}{\Delta x}\ \text{在}\ \Delta x \to 0\\[5pt] \text{时的极限存在，那么}\ y=f(x)\ \text{在}\ x_0\ \text{处可导。} \end{matrix}

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这确实有点令人头疼，不过我们可以简化为一个公式（你应当看过讲述极限那一章）：

f′(x)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf '(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

我们仍然可以观察到 f(x0+Δx)−f(x0)f(x_0+\Delta x)-f(x_0) 其实就等于 Δy\Delta y，于是可以写成 f′(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf '(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}。其实分数部份和点斜式法公式是等价的，即 ΔyΔx=y1−y2x1−x2=k=f′(x)\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k=f '(x)。

运用一下​

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如图所示，我们需要知道虚线的切线斜率，但是我们只知道一个点，无法直接求出，那我们就引入另外一条经过抛物线两个点的切线，其中抛物线的表达式为 f(x)=0.3x2f(x)=0.3x^2。根据点斜式公式，我们可以求出经过这两点的切线的斜率 k1=1.2k_1=1.2。

然后，将两点之间的横纵坐标之差设为 Δx,Δy\Delta x,\Delta y，我们发现，当两点相距越来越近的时候，过这两点之间的斜率也越来越趋近于这根切线的斜率。

备注

幂函数求导公式，直接记就可以了，降幂打击，然后把幂次乘到系数里面。

我们可以比较轻松地得到这根切线的斜率：

k=lim⁡Δx→00.3Δx+0.6xk=\lim\limits_{\Delta x\to 0}0.3\Delta x+0.6x

这个是化简后的式子。

因此我们可以得出这根切线的斜率为 0.60.6。

注意

Δx≠0\Delta x\not = 0 是这个地方需要注意的，因为我们运用到了极限思想。它永远都是一个无限小的量，只不过是无限趋于 00。

承上启下​

我不如将导数理解为某点附近的曲线变化率，但是如何从 f(x)f(x) 转换为 f′(x)f'(x)，接下来会继续讲。

求导运算​

我们设有一个函数 f(x)=y=x2+2x+1f(x)=y=x^2+2x+1，它对应的导函数 f′(x)=2x+2f '(x)=2x+2，至于是怎么得来的，我们稍后再讲。

那么一条切线经过 x=1x=1 且经过这个二次函数的斜率 k=2∗1+2=4k=2*1+2=4，你也可以代入更多的值。代入更多的值我们发现，导函数所表示的值就是在该点处切线的斜率 kk 的值。因此我们可以得出如下的结论：

  • 当 f′(x)>0f '(x)>0 时，所在的点的切线斜率 kk 就大于 00，所以这条切线是随横坐标的增加而增加的。
  • 当 f′(x)<0f '(x)<0 时，所在的点的切线斜率 kk 就小于 00，所以这条切线是随横坐标的增加而减小的。
信息

了解了上述的性质之后，我们来看看基本求导公式：

(C)′=0(C∈R)(axα)′=aαxα−1(ln⁡x)′=1x(ex)′=ex(ax)′=axln⁡a(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x\begin{matrix} (C)'=0 \quad (C\in \R)\\[1em] (ax^\alpha)'=a\alpha x^{\alpha-1}\\[1em] (\ln x)'=\frac{1}{x}\\[1em] (e^x)'=e^x\\[1em] (a^x)'=a^x\ln a\\[1em] (\sin x)'=\cos x\\[1em] (\cos x)'=-\sin x \end{matrix}

如果这个常数前面有一个系数，比如第二个，变化的时候直接在前面加上系数即可，系数不变，同理第三个如果 ln⁡x\ln x 前面有一个系数 aa，那么对应的导函数就是 ax\frac{a}{x}。

所以你知道了 f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1 是如何转化了吧。因此，我们又可以知道，与 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 对应的导函数 f′(x)=2ax+bf'(x)=2ax+b。我们知道二次函数的顶点处所做的切线的斜率为 00，即这根切线与 xx 轴重合，所以这个地方的横纵标为 −b2a-\frac{b}{2a}，千万不要看不懂，学了直线和方程以及一次函数就可以懂了（虽然只是一个大概）。

大总结​

好了，本章结束了，虽然只讲了一点，涵盖了概念和求导的公式，但是真正的内容还很长很长，这或许会对我们在一次函数的练习题有一点整活的余地～

危险

千万别瞎用哦～～