位运算 · 优化时间

位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。

基本的位运算共 $6$ 种，分别为按位与、按位或、按位异或、按位取反、左移和右移。

为了方便叙述，下文中省略「按位」。

与、或、异或

这三者都是两数间的运算，因此在这里一起讲解。

它们都是将两个整数作为二进制数，对二进制表示中的每一位逐一运算。

运算	运算符	数学符号表示	解释
与	`&`	$\&$ 、 $\operatorname{and}$	只有两个对应位都为 $1$ 时才为 $1$
或	`	`	$\mid$ 、 $\operatorname{or}$
异或	`^`	$\oplus$ 、 $\operatorname{xor}$	只有两个对应位不同时才为 $1$

注意区分逻辑与（对应的数学符号为 $\wedge$ ）和按位与、逻辑或（ $\vee$ ）和按位或的区别。网络中的资料中使用的符号多有不规范之处，以上下文为准。

异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 $a \oplus b \oplus b = a$ 。

举例：

\begin{aligned} 5 &=(101)_2\\ 6 &=(110)_2\\ 5\operatorname\&6 &=(100)_2 =\ 4\\ 5\operatorname|6 &=(111)_2 =\ 7\\ 5\oplus6 &=(011)_2 =\ 3\\ \end{aligned}

取反

取反是对一个数 $num$ 进行的位运算，即单目运算。

取反暂无默认的数学符号表示，其对应的运算符为 ~。它的作用是把 $num$ 的二进制补码中的 $0$ 和 $1$ 全部取反（ $0$ 变为 $1$ ， $1$ 变为 $0$ ）。有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

补码：在二进制表示下，正数和 $0$ 的补码为其本身，负数的补码是将其对应正数按位取反后加一。

举例（有符号整数）：

\begin{aligned} 5&=(00000101)_2\\ \text{~}5&=(11111010)_2=-6\\ -5\text{ 的补码}&=(11111011)_2\\ \text{~}(-5)&=(00000100)_2=4 \end{aligned}

左移和右移

num << i 表示将 $num$ 的二进制表示向左移动 $i$ 位所得的值。

num >> i 表示将 $num$ 的二进制表示向右移动 $i$ 位所得的值。

举例：

\begin{aligned} 11&=(00001011)_2\\ 11<<3&=(01011000)_2=88\\ 11>>2&=(00000010)_2=2 \end{aligned}

移位运算中如果出现如下情况，则其行为未定义：

右操作数（即移位数）为负值；
右操作数大于等于左操作数的位数；

例如，对于 int 类型的变量 a ， a<<-1 和 a<<32 都是未定义的。

对于左移操作，需要确保移位后的结果能被原数的类型容纳，否则行为也是未定义的。[^note1]对一个负数执行左移操作也未定义。[^note2]

对于右移操作，右侧多余的位将会被舍弃，而左侧较为复杂：对于无符号数，会在左侧补 $0$ ；而对于有符号数，则会用最高位的数（其实就是符号位，非负数为 $0$ ，负数为 $1$ ）补齐。[^note3]

复合赋值位运算符

和 += , -= 等运算符类似，位运算也有复合赋值运算符： &= , |= , ^= , <<= , >>= 。（取反是单目运算，所以没有。）

关于优先级

位运算的优先级低于算术运算符（除了取反），而按位与、按位或及异或低于比较运算符，所以使用时需多加注意，在必要时添加括号。

位运算的应用

位运算一般有三种作用：

高效地进行某些运算，代替其它低效的方式。
表示集合（常用于状压 DP）。
题目本来就要求进行位运算。

需要注意的是，用位运算代替其它运算方式（即第一种应用）在很多时候并不能带来太大的优化，反而会使代码变得复杂，使用时需要斟酌。（但像「乘 2 的非负整数次幂」和「除以 2 的非负整数次幂」就最好使用位运算，因为此时使用位运算可以优化复杂度。）

有关 2 的幂的应用

由于位运算针对的是变量的二进制位，因此可以推广出许多与 2 的整数次幂有关的应用。

将一个数乘（除） 2 的非负整数次幂：

int mulPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n*(2^m)
  return n << m;
}
int divPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n/(2^m)
  return n >> m;
}

特别注意

我们平常写的除法是向 $0$ 取整，而这里的右移是向下取整（注意这里的区别），即当数大于等于 $0$ 时两种方法等价，当数小于 $0$ 时会有区别，如： -1 / 2 的值为 $0$ ，而 -1 >> 1 的值为 $-1$ 。

取绝对值

在某些机器上，效率比 n > 0 ? n : -n 高。

int Abs(int n) {
  return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
  /* n>>31 取得 n 的符号，若 n 为正数，n>>31 等于 0，若 n 为负数，n>>31 等于 -1
    若 n 为正数 n^0=n, 数不变，若 n 为负数有 n^(-1)
    需要计算 n 和 -1 的补码，然后进行异或运算，
    结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1，再减去 -1 就是绝对值 */
}

取两个数的最大/最小值

在某些机器上，效率比 a > b ? a : b 高。

// 如果 a >= b, (a - b) >> 31 为 0，否则为 -1
int max(int a, int b) { return (b & ((a - b) >> 31)) | (a & (~(a - b) >> 31)); }
int min(int a, int b) { return (a & ((a - b) >> 31)) | (b & (~(a - b) >> 31)); }

判断两非零数符号是否相同

bool isSameSign(int x, int y) {  // 有 0 的情况例外
  return (x ^ y) >= 0;
}

交换两个数

"该方法具有局限性"

这种方式只能用来交换两个整数，使用范围有限。

对于一般情况下的交换操作，推荐直接调用 algorithm 库中的 std::swap 函数。

void swap(int &a, int &b) { a ^= b ^= a ^= b; }

操作一个数的二进制位

获取一个数二进制的某一位：

// 获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }

将一个数二进制的某一位设置为 $0$ ：

// 将 a 的第 b 位设置为 0 ，最低位编号为 0
int unsetBit(int a, int b) { return a & ~(1 << b); }

将一个数二进制的某一位取反：

// 将 a 的第 b 位取反 ，最低位编号为 0
int flapBit(int a, int b) { return a ^ (1 << b); }

这些操作相当于将一个 $32$ 位整型变量当作一个长度为 $32$ 的布尔数组。

汉明权重

汉明权重是一串符号中不同于（定义在其所使用的字符集上的）零符号（zero-symbol）的个数。对于一个二进制数，它的汉明权重就等于它 $1$ 的个数（即 popcount）。

求一个数的汉明权重可以循环求解：我们不断地去掉这个数在二进制下的最后一位（即右移 $1$ 位），维护一个答案变量，在除的过程中根据最低位是否为 $1$ 更新答案。

代码如下：

// 求 x 的汉明权重
int popcount(int x) {
    int cnt = 0;
    while (x) {
        cnt += x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return cnt;
}

求一个数的汉明权重还可以使用 lowbit 操作：我们将这个数不断地减去它的 lowbit[^note4]，直到这个数变为 $0$ 。

代码如下：

// 求 x 的汉明权重
int popcount(int x) {
    int cnt = 0;
    while (x) {
        cnt++;
        x -= x & -x;
    }
    return cnt;
}

构造汉明权重递增的排列

在状态压缩 DP 中，按照 popcount 递增的顺序枚举有时可以避免重复枚举状态。这是构造汉明权重递增的排列的一大作用。

下面我们来具体探究如何在 $O(n)$ 时间内构造汉明权重递增的排列。

我们知道，一个汉明权重为 $n$ 的最小的整数为 $2^n-1$ 。只要可以在常数时间构造出一个整数汉明权重相等的后继，我们就可以通过枚举汉明权重，从 $2^n-1$ 开始不断寻找下一个数的方式，在 $O(n)$ 时间内构造出 $0\sim n$ 的符合要求的排列。

而找出一个数 $x$ 汉明权重相等的后继有这样的思路，以 $(10110)_2$ 为例：

把 $(10110)_2$ 最右边的 $1$ 向左移动，如果不能移动，移动它左边的 $1$ ，以此类推，得到 $(11010)_2$ 。
把得到的 $(11010)_2$ 最后移动的 $1$ 原先的位置一直到最低位的所有 $1$ 都移到最右边。这里最后移动的 $1$ 原来在第三位，所以最后三位 $010$ 要变成 $001$ ，得到 $(11001)_2$ 。

这个过程可以用位运算优化：

int t = x + (x & -x);
x = t | ((((t&-t)/(x&-x))>>1)-1);

第一个步骤中，我们把数 $x$ 加上它的 lowbit，在二进制表示下，就相当于把 $x$ 最右边的连续一段 $1$ 换成它左边的一个 $1$ 。如刚才提到的二进制数 $(10110)_2$ ，它在加上它的 lowbit 后是 $(11000)_2$ 。这其实得到了我们答案的前半部分。
我们接下来要把答案后面的 $1$ 补齐， $t$ 的 lowbit 是 $x$ 最右边连续一段 $1$ 最左边的 $1$ 移动后的位置，而 $x$ 的 lowbit 则是 $x$ 最右边连续一段 $1$ 最左边的位置。还是以 $(10110)_2$ 为例， $t = (11000)_2$ ， $\operatorname{lowbit}(t) = (01000)_2$ ， $\operatorname{lowbit}(x)=(00010)_2$ 。
接下来的除法操作是这种位运算中最难理解的部分，但也是最关键的部分。我们设原数最右边连续一段 $1$ 最高位的 $1$ 在第 $r$ 位上（位数从 $0$ 开始），最低位的 $1$ 在第 $l$ 位， $t$ 的 lowbit 等于 1 << (r+1) ， $x$ 的 lowbit 等于 1 << l， (((t&-t)/(x&-x))>>1) 得到的，就是 (1<<(r+1))/(1<<l)/2 = (1<<r)/(1<<l) = 1<<(r-l) ，在二进制表示下就是 $1$ 后面跟上 $r-l$ 个零，零的个数正好等于连续 $1$ 的个数减去 $1$ 。举我们刚才的数为例， $\frac{\operatorname{lowbit(t)/2}}{\operatorname{lowbit(x)}} = \frac{(00100)_2}{(00010)_2} = (00010)_2$ 。把这个数减去 $1$ 得到的就是我们要补全的低位，或上原来的数就可以得到答案。

所以枚举 $0\sim n$ 按汉明权重递增的排列的完整代码为：

for (int i = 0; (1<<i)-1 <= n; i++) {
    for (int x = (1<<i)-1, t; x <= n; t = x+(x&-x), x = x ? (t|((((t&-t)/(x&-x))>>1)-1)) : (n+1)) {
        // 写下需要完成的操作
    }
}

其中要注意 $0$ 的特判，因为 $0$ 没有相同汉明权重的后继。

内建函数

GCC 中还有一些用于位运算的内建函数：

int __builtin_ffs(int x) ：返回 $x$ 的二进制末尾最后一个 $1$ 的位置，位置的编号从 $1$ 开始（最低位编号为 $1$ ）。当 $x$ 为 $0$ 时返回 $0$ 。
int __builtin_clz(unsigned int x) ：返回 $x$ 的二进制的前导 $0$ 的个数。当 $x$ 为 $0$ 时，结果未定义。
int __builtin_ctz(unsigned int x) ：返回 $x$ 的二进制末尾连续 $0$ 的个数。当 $x$ 为 $0$ 时，结果未定义。
int __builtin_clrsb(int x) ：当 $x$ 的符号位为 $0$ 时返回 $x$ 的二进制的前导 $0$ 的个数减一，否则返回 $x$ 的二进制的前导 $1$ 的个数减一。
int __builtin_popcount(unsigned int x) ：返回 $x$ 的二进制中 $1$ 的个数。
int __builtin_parity(unsigned int x) ：判断 $x$ 的二进制中 $1$ 的个数的奇偶性。

这些函数都可以在函数名末尾添加 l 或 ll （如 __builtin_popcountll ）来使参数类型变为 ( unsigned ) long 或 ( unsigned ) long long （返回值仍然是 int 类型）。例如，我们有时候希望求出一个数以二为底的对数，如果不考虑 0 的特殊情况，就相当于这个数二进制的位数 -1 ，而一个数 n 的二进制表示的位数可以使用 32-__builtin_clz(n) 表示，因此 31-__builtin_clz(n) 就可以求出 n 以二为底的对数。

由于这些函数是内建函数，经过了编译器的高度优化，运行速度十分快（有些甚至只需要一条指令）。

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