平衡三进制

定义

平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个不太标准的 计数体系。

正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的。它的基数也是 3（因为有三个可能的值）。由于将 -1 写成数字不方便，我们将使用字母 Z 来代替 -1。

解释

这里有几个例子：

十进制	平衡三进制	十进制	平衡三进制
0	0	5	1ZZ
1	1	6	1Z0
2	1Z	7	1Z1
3	10	8	10Z
4	11	9	100

该 计数体系 的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（Z 变成 1,1 变成 Z）。

十进制	平衡三进制
-1	Z
-2	Z1
-3	Z0
-4	ZZ
-5	Z11

很容易就可以看到，负数最高位是 Z，正数最高位是 1。

过程

在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 x 在标准三进制中的表示。当 x 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2。从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 Z，下一位数字再加上 1。而遇到数字 3 则应该转换为 0 下一位数字再加上 1。

应用一

把 64 转换成平衡三进制。

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

$$\text 64_{10} = 02101_3$$

让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：

• 101 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
• 2 变成了 Z，它左边的数字加 1，得到 1Z101；
• 1 被跳过，得到 1Z101。

最终的结果是 1Z101。

我们再把它转换回十进制：

$$\texttt {1Z101}=81 \times 1 +27 \times (-1) + 9 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 1 = 64_{10}$$

应用二

把 237 转换成平衡三进制。

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

$$\text 237_{10} = 22210_3$$

• 0 和 1 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
• 2 变成 Z，左边的数字加 1，得到 23Z10；
• 3 变成 0，左边的数字加 1，得到 30Z10；
• 3 变成 0，左边的数字（默认是 0）加 1，得到 100Z10；
• 1 被跳过，得到 100Z10。

最终的结果是 100Z10。

我们再把它转换回十进制：

$$\texttt{100Z10} = 243 \cdot 1 + 81 \cdot 0 + 27 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 237_{10}$$

性质

对于一个平衡三进制数 $X_3$ 来说，其可以按照每一位 $x_i$ 乘上对应的权值 $3^i$ 来唯一得到一个十进制数 $Y_{10}$。

那对于一个十进制数 $Y_{10}$，是否 唯一对应一个平衡三进制数 呢？

答案是肯定的，这种性质被叫做平衡三进制的唯一性。

"证明"

我们利用 反证法 来求证：

假设一个十进制数 $Y_{10}$，存在两个 不同的平衡三进制数 $A_3,B_3$ 转化成十进制时等于 $Y_{10}$，即证 $A_3 = B_3$。分情况讨论：

1. 当 $Y_{10}=0$，显然 $A_3 = B_3 = 0_3$，与假设矛盾。

2. 当 $Y_{10}>0$：

   • 将 $A_3$，$B_3$ 的数位按低位到高位编号，记 $a_i$ 为 $A_3$ 的第 $i$ 位，$b_i$ 为 $B$ 的第 $i$ 位。在 $A_3,B_3$ 中，必存在 $i$ 使得 $a_i\neq b_i$。可以发现第 $i-1,i-2,\dots,0$ 位均与证明无关。因此，将 $A_3,B_3$ 按位右移 $i$ 位，得到 $A_3',B_3'$，原问题等价于证明 $A_3'=B_3'$。
   • 对于 $A_3',B_3'$ 第 $0$ 位，$a_0 \neq b_0$。假设 $b_0 > a_0$（$a_0>b_0$ 时结果相同），易知 $b_0 - a_0 \in \{1,2\}$。$A_3'$ 的位 $i=1,2,3,\dots$ 对于 $A_3'$ 的值的贡献为 $S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$，$B_3'$ 的位 $i=1,2,3,\dots$ 对于 $B_3'$ 的值的贡献为 $S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$。由于 $A_3' = B_3'$，得 $S_1 - S_2 = b_0 - a_0$。$S_1,S_2$ 有公因子 $3$，而 $b_0 - a_0$ 不能被 $3$ 整除，与假设矛盾，因此 $A_3'\neq B_3'$

3. 当 $Y_{10}<0$，证法与 $Y_{10}>0$ 相同。

故对于任意十进制 $Y_{10}$，均有唯一对应的平衡三进制 $X_3$。

练习题

Topcoder SRM 604, Div1-250

本页面部分内容译自博文 Троичная сбалансированная система счисления 与其英文翻译版 Balanced Ternary。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。