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与编程相关联的数学符号

在学习数学的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。

整除/同余理论常见符号​

  1. 整除符号：x∣yx\mid y，表示 xx 整除 yy，即 xx 是 yy 的因数。
  2. 取模符号：x mod yx\bmod y，表示 xx 除以 yy 得到的余数。
  3. 互质符号：x⊥yx\perp y，表示 xx，yy 互质。
  4. 最大公约数：gcd⁡(x,y)\gcd(x,y)，在无混淆意义的时侯可以写作 (x,y)(x,y)。
  5. 最小公倍数：lcm⁡(x,y)\operatorname{lcm}(x,y)，在无混淆意义的时侯可以写作 [x,y][x,y]。

数论函数常见符号​

求和符号：∑\sum 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子：

  • ∑i=1ni\sum_{i=1}^n i 表示 1+2+⋯+n1+2+\dotsb+n 的和。其中 ii 是一个变量，在求和符号的意义下 ii 通常是 正整数或者非负整数（除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为，ii 从 11 循环到 nn，所有 ii 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 ∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^n i=\dfrac{n(n+1)}{2}。
  • ∑S⊆T∣S∣\sum_{S\subseteq T}|S| 表示所有被 TT 包含的集合的大小的和。
  • ∑p≤n,p⊥n1\sum_{p\le n,p\perp n}1 表示的是 nn 以内有多少个与 nn 互质的数，即 φ(n)\varphi(n)，φ\varphi 是欧拉函数。

求积符号：∏\prod 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子：

  • ∏i=1ni\prod_{i=1}^ni 表示 nn 的阶乘，即 n!n!。在组合数学常见符号中会讲到。
  • ∏i=1nai\prod_{i=1}^na_i 表示 a1×a2×a3×⋯×ana_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n。
  • ∏x∣dx\prod_{x|d}x 表示 dd 的所有因数的乘积。

在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。

其他常见符号​

  1. 阶乘符号 !!，n!n! 表示 1×2×3×⋯×n1\times 2\times 3\times \dotsb \times n。特别地，0!=10!=1。
  2. 向下取整符号：⌊x⌋\lfloor x\rfloor，表示小于等于 xx 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 ⌊xy⌋\left\lfloor\dfrac{x}{y}\right\rfloor。
  3. 向上取整符号：⌈x⌉\lceil x\rceil，与向下取整符号相对，表示大于等于 xx 的最小的整数。
  4. 组合数：(xy)\binom{x}{y}
  5. 第一类斯特林数：[xy]x\brack y
  6. 第二类斯特林数：{xy}x\brace y