集合——高中的第一节课

前言

本章我们将学习有关集合的概念以及运用，放心，不难。

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基本概念

集合是由一群具有共同特征或满足特定条件的“元素”构成的整体。每个包含在集合中的对象称为元素，也称为成员。

• 若 $a$ 是集合 $A$ 的元素，记作：$a \in A$。
• 若 $a$ 不属于集合 $A$，记作：$a \notin A$。

例如，可表示为：$A = {x \mid x\text{ 满足某条件}}$。

我们常用大括号 $\{\}$ 表示集合。例：集合 $A$ 包含数字 1、2、3 表示为：$A = \{1, 2, 3\}$。使用描述式定义满足条件的集合：$B = \{x \mid x \text{ 为偶数且 } 0 < x \le 10\}$。

分类

1. 空集：不包含任何元素的集合，记作 $\text{\o}$ 或 $\{\}$。
2. 有限集与无限集：
   • 有限集示例：$\{1, 2, 3\}$。
   • 无限集示例：整数集 $\mathbb{Z}$，实数集 $\mathbb{R}$。

常见运算包括：

1. 交集：两个集合共有的元素，记作 $A \cap B$。
2. 并集：两个集合中所有元素（去重后）的集合，记作 $A \cup B$。
3. 差集：集合 $A$ 中有而集合 $B$ 中没有的元素，记作 $A - B$。
4. 补集：在全集 $U$ 中除去集合 $A$ 后的元素集合，记作 $A^c$。

应用

集合论作为数学基础，为后续构建函数、序列、拓扑等提供严谨逻辑框架。在计算机科学、统计学等领域，集合论思想广泛用于数据结构、概率统计等问题。

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一些简便的写法

其实上述的内容很大一部份是 AI 帮我们写的，接下来的部份是人写的。

我们经常在题目中可以看到如下的字眼：”……的整数解有哪些？“”……是否为无理数？““有一个整数……”。那在书写的时候其实可以用集合来表示这些数字类型。

1. 自然数集合 $\N$：比如 $\{0,1,2,3,4,5,6,……\}$，也就是非负数整数。
2. 整数集合 $\Z$：表示所有的整数 $\{…,-1,0,1,…\}$。
3. 有理数集合 $\text{Q}$：表示有理数，即分数和整数。
4. 实数集合 $\R$：包括有理数和无理数。
5. 复数集合 $\Complex$：也就是实数搭配一个虚数，类似于 $2\mathrm{i}$。
6. $\R ^+$ 和 $\R ^-$ 分别表示正实数和负实数。
7. $\N ^*$ 或 $\N ^+$ 都可以表示正整数。

上面是常用的内容，还有一些，我们平常可能用不到的，如果你想表达一个数字属于整数，可以这样说 $n\in \Z$ 或者一个区间 $[l,r]\in \Z$ 即可，特别的简单。其他的表达同理，这很正规！

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总结

本章结束！