浅谈极限 · 无限思想

引入 Instruction

事实上，我们对极限的接触很早就有，也就是我们刚学习圆的时候。还记着吗？老师让我们理解圆的面积的公式是怎么来的，当时就用到了极限的思想，我们再简单地“赘述一下”。

如图所示，这是一个基本的圆形，上面写了一些关于圆的基本量表达。半径、直径、周长、圆心的就不再赘述概念，我们就直接讲面积公式是怎么来的。

我们看看这张图片，将圆分割成面积相等的几个扇形，把整个圆分成两半，每半的扇形数量相等，然后类似狗牙交错的样子拼合。我们可以注意到，在扇形数量逐渐变多的时候，拼成的图案是不是越来越像一个长方形？

我们知道长方形的面积计算公式：$S=ab$，其中 $a,b$ 分别表示长和宽，那我们用圆的量来表示长和宽。

我们发现长方形的长的部份就是圆的周长的一半，因为我们把圆给展开了，所以长就可以表示为：

$$\frac{1}{2}C_{circle}=\frac{1}{2}(2\pi r)=\pi r$$

接着我们来看宽该如何表示。如图，宽就是每一个扇形的边，也就是圆的半径 $r$，因此宽就是 $r$。

所以我们就可以得出：

$$S_{circle}=S_{\textrm{长方形}}=ab=(\pi r) \times r=\pi r^2$$

这不就得出来了吗！

所以我们发现，当扇形的数量无限变大的时候，所组成的图形就无限趋于一个长方形，我们可以记为：

$$\lim\limits_{\textrm{扇形数量}\to \infty} \textrm{图形}=\textrm{长方形}$$

特别注意 / 特别强调 / 特别（）（）

这个地方写中文只是为了更加清晰的表达，后续我们将讲 $\lim$ 的应用。

恭喜你，知道了极限的基本表达，那我们接下来讲讲“枯燥”的。

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极限的数学表达 Expressions

极限的英文是 limit，那么在数学中我们用 $\lim$ 来表示。

那么极限我们可以读作“某物无限趋于某个事物或范围，则另外一个事物或范围就会无限趋于另一个事物或范围”。也就是一个事会影响另一个事的发展，但是这里还有无限趋于的意思。

假设这里有一个函数 $f(x)=x+1$，函数比较简单，所以带入任何值都可以轻松的求出，例如：

$$\begin{matrix} f(1)=2 \\ f(1.001)=2.001 \\ f(1.00001)=2.00001 \\ ...... \end{matrix}$$

是不是发现了，当 $x$ 的值无限趋于 $1$ 的时候，所得到的函数值是不是无限趋于 $2$？

那这个函数太简单了，我们换一个高端一点的：

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

是不是发现了 $f(1)$ 代不进去，但是 $f(1.0000001)=2.0000001$ 代得进去啊！于是我们就可以得出，当 $x$ 非常接近 $1$ 的时候， $f(x)$ 的值就非常接近 $2$，专业一点记作：

$$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=2$$

但是有的函数，它在某个点的极限不唯一，比如反比例函数在 $x=0$ 处的极限。左极限为 $-\infty$，右极限为 $\infty$。

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好了，上述就是极限的基本内容了。

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参考：这个视频。上述的例子就是来自这个视频。