数论基础

整除

设 $a,b\in\mathbf{Z}$，$a\ne 0$。如果 $\exists q\in\mathbf{Z}$，使得 $b=aq$，那么就说 $b$ 可被 $a$ 整除，记作 $a\mid b$；$b$ 不被 $a$ 整除记作 $a\nmid b$。

整除的性质：

• $a\mid b\iff-a\mid b\iff a\mid-b\iff|a|\mid|b|$
• $a\mid b\land b\mid c\implies a\mid c$
• $a\mid b\land a\mid c\iff\forall x,y\in\mathbf{Z}, a\mid(xb+yc)$
• $a\mid b\land b\mid a\implies b=\pm a$
• 设 $m\ne0$，那么 $a\mid b\iff ma\mid mb$。
• 设 $b\ne0$，那么 $a\mid b\implies|a|\le|b|$。
• 设 $a\ne0,b=qa+c$，那么 $a\mid b\iff a\mid c$。

约数

若 $a\mid b$，则称 $b$ 是 $a$ 的 倍数，$a$ 是 $b$ 的 约数。

$0$ 是所有非 $0$ 整数的倍数。对于整数 $b\ne0$，$b$ 的约数只有有限个。

平凡约数（平凡因数）：对于整数 $b\ne0$，$\pm1$、$\pm b$ 是 $b$ 的平凡约数。当 $b=\pm1$ 时，$b$ 只有两个平凡约数。

对于整数 $b\ne 0$，$b$ 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。

约数的性质：

• 设整数 $b\ne0$。当 $d$ 遍历 $b$ 的全体约数的时候，$\dfrac{b}{d}$ 也遍历 $b$ 的全体约数。
• 设整数 $b\gt 0$，则当 $d$ 遍历 $b$ 的全体正约数的时候，$\dfrac{b}{d}$ 也遍历 $b$ 的全体正约数。

在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。

带余数除法

设 $a,b$ 为两个给定的整数，$a\ne0$。设 $d$ 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 $q$ 和 $r$，满足 $b=qa+r,d\le r<|a|+d$。

无论整数 $d$ 取何值，$r$ 统称为余数。$a\mid b$ 等价于 $a\mid r$。

一般情况下，$d$ 取 $0$，此时等式 $b=qa+r,0\le r<|a|$ 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 $r$ 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法：

• 绝对最小余数：$d$ 取 $a$ 的绝对值的一半的相反数。即 $b=qa+r,-\dfrac{|a|}{2}\le r<|a|-\dfrac{|a|}{2}$。
• 最小正余数：$d$ 取 $1$。即 $b=qa+r,1\le r<|a|+1$。

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质：

• 任一整数被正整数 $a$ 除后，余数一定是且仅是 $0$ 到 $(a-1)$ 这 $a$ 个数中的一个。
• 相邻的 $a$ 个整数被正整数 $a$ 除后，恰好取到上述 $a$ 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 $a$ 整除。

最大公约数与最小公倍数

一些作者认为 $0$ 和 $0$ 的最大公约数无定义，其余作者一般将其视为 $0$。C++ STL 的实现中采用后者，即认为 $0$ 和 $0$ 的最大公约数为 $0$¹。

最大公约数有如下性质：

• $(a_1,\dots,a_n)=(|a_1|,\dots,|a_n|)$；
• $(a,b)=(b,a)$；
• 若 $a\ne 0$，则 $(a,0)=(a,a)=|a|$；
• $(bq+r,b)=(r,b)$；
• $(a_1,\dots,a_n)=((a_1,a_2),a_3,\dots,a_n)$。进而 $\forall 1<k<n-1,~(a_1,\dots,a_n)=((a_1,\dots,a_k),(a_{k+1},\dots,a_n))$；
• 对不全为 $0$ 的整数 $a_1,\dots,a_n$ 和非零整数 $m$，$(ma_1,\dots,ma_n)=|m|(a_1,\dots,a_n)$；
• 对不全为 $0$ 的整数 $a_1,\dots,a_n$，若 $(a_1,\dots,a_n)=d$，则 $(a_1/d,\dots,a_n/d)=1$；
• $(a^n,b^n)=(a,b)^n$。

最大公约数还有如下与互素相关的性质：

• 若 $b|ac$ 且 $(a,b)=1$，则 $b\mid c$；
• 若 $b|c$、$a|c$ 且 $(a,b)=1$，则 $ab\mid c$；
• 若 $(a,b)=1$，则 $(a,bc)=(a,c)$；
• 若 $(a_i,b_j)=1,~\forall 1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$，则 $\left(\prod_i a_i,\prod_j b_j\right)=1$。特别地，若 $(a,b)=1$，则 $(a^n,b^m)=1$；
• 对整数 $a_1,\dots,a_n$，若 $\exists v\in \mathbf{Z},~\prod_i a_i=v^m$，且 $(a_i,a_j)=1,~\forall i\ne j$，则 $\forall 1\leq i\leq n,~\sqrt[m]{a_i}\in\mathbf{Z}$。

最小公倍数有如下性质：

• $[a_1,\dots,a_n]=[|a_1|,\dots,|a_n|]$；
• $[a,b]=[b,a]$；
• 若 $a\ne 0$，则 $[a,1]=[a,a]=|a|$；
• 若 $a\mid b$，则 $[a,b]=|b|$；
• $[a_1,\dots,a_n]=[[a_1,a_2],a_3,\dots,a_n]$。进而 $\forall 1<k<n-1,~[a_1,\dots,a_n]=[[a_1,\dots,a_k],[a_{k+1},\dots,a_n]]$；
• 若 $a_i\mid m,~\forall 1\leq i\leq n$，则 $[a_1,\dots,a_n]\mid m$；
• $[ma_1,\dots,ma_n]=|m|[a_1,\dots,a_n]$；
• $[a,b,c][ab,bc,ca]=[a,b][b,c][c,a]$；
• $[a^n,b^n]=[a,b]^n$。

最大公约数和最小公倍数可以组合出很多奇妙的等式，如：

• $(a,b)[a,b]=|ab|$；
• $(ab,bc,ca)[a,b,c]=|abc|$；
• $\dfrac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(a,c)}=\dfrac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][a,c]}$。

这些性质均可通过定义或 唯一分解定理 证明，其中使用唯一分解定理的证明更容易理解。

互素

若 $(a_1,a_2)=1$，则称 $a_1$ 和 $a_2$ 互素（既约）。

若 $(a_1,\ldots,a_k)=1$，则称 $a_1,\ldots,a_k$ 互素（既约）。

多个整数互素，不一定两两互素。例如 $6$、$10$ 和 $15$ 互素，但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout's identity）。

辗转相除法

辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。

素数与合数

设整数 $p\ne0,\pm1$。如果 $p$ 除了平凡约数外没有其他约数，那么称 $p$ 为 素数（不可约数）。

若整数 $a\ne0,\pm 1$ 且 $a$ 不是素数，则称 $a$ 为 合数。

$p$ 和 $-p$ 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

• 大于 $1$ 的整数 $a$ 是合数，等价于 $a$ 可以表示为整数 $d$ 和 $e$（$1<d,e<a$）的乘积。
• 如果素数 $p$ 有大于 $1$ 的约数 $d$，那么 $d=p$。
• 大于 $1$ 的整数 $a$ 一定可以表示为素数的乘积。
• 对于合数 $a$，一定存在素数 $p\le\sqrt{a}$ 使得 $p\mid a$。
• 素数有无穷多个。
• 所有大于 $3$ 的素数都可以表示为 $6n\pm 1$ 的形式²。

算术基本定理

设 $p$ 是素数，$p\mid a_1a_2$，那么 $p\mid a_1$ 和 $p\mid a_2$ 至少有一个成立。

算术基本引理是素数的本质属性，也是素数的真正定义。

算术基本定理（唯一分解定理）

设正整数 $a$，那么必有表示：

$$a=p_1p_2\cdots p_s$$

其中 $p_j(1\le j\le s)$ 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

$$a={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_s}^{\alpha_s},p_1<p_2<\cdots<p_s$$

称为正整数 $a$ 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

同余

设整数 $m\ne0$。若 $m\mid(a-b)$，称 $m$ 为 模数（模），$a$ 同余于 $b$ 模 $m$，$b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的 剩余。记作 $a\equiv b\pmod m$。

否则，$a$ 不同余于 $b$ 模 $m$，$b$ 不是 $a$ 对模 $m$ 的剩余。记作 $a\not\equiv b\pmod m$。

这样的等式，称为模 $m$ 的同余式，简称 同余式。

根据整除的性质，上述同余式也等价于 $a\equiv b\pmod{(-m)}$。

如果没有特别说明，模数总是正整数。

式中的 $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 $b$ 的范围，相应的有 $a$ 对模 $m$ 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质：

• 同余是等价关系，即同余具有
  • 自反性：$a\equiv a\pmod m$。
  • 对称性：若 $a\equiv b\pmod m$，则 $b\equiv a\pmod m$。
  • 传递性：若 $a\equiv b\pmod m,b\equiv c\pmod m$，则 $a\equiv c\pmod m$。
• 线性运算：若 $a,b,c,d\in\mathbf{Z},m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m,c\equiv d\pmod m$ 则有：
  • $a\pm c\equiv b\pm d\pmod m$。
  • $a\times c\equiv b\times d\pmod m$。
• 设 $f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$ 和 $g(x)=\sum_{i=0}^n b_ix^i$ 是两个整系数多项式，$m\in\mathbf{N}^*$，且 $a_i\equiv b_i\pmod m,~0\leq i\leq n$，则对任意整数 $x$ 均有 $f(x)\equiv g(x)\pmod m$。进而若 $s\equiv t\pmod m$，则 $f(s)\equiv g(t)\pmod m$。
• 若 $a,b\in\mathbf{Z},k,m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m$, 则 $ak\equiv bk\pmod{mk}$。
• 若 $a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid a,d\mid b,d\mid m$，则当 $a\equiv b\pmod m$ 成立时，有 $\dfrac{a}{d}\equiv\dfrac{b}{d}\left(\bmod\;{\dfrac{m}{d}}\right)$。
• 若 $a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid m$，则当 $a\equiv b\pmod m$ 成立时，有 $a\equiv b\pmod d$。
• 若 $a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*$，则当 $a\equiv b\pmod m$ 成立时，有 $(a,m)=(b,m)$。若 $d$ 能整除 $m$ 及 $a,b$ 中的一个，则 $d$ 必定能整除 $a,b$ 中的另一个。

C/C++ 的整数除法和取模运算

在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。

对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：

1. 当除数为 0 时，行为未定义；
2. 否则 (a / b) * b + a % b 的运算结果与 a 相等。

也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。

从 C99³和 C++11⁴标准版本起，规定 商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：

5 % 3 == 2;
5 % -3 == 2;
-5 % 3 == -2;
-5 % -3 == -2;

同余类与剩余系

为方便讨论，对集合 $A,B$ 和元素 $r$，我们引入如下记号：

• $r+A:=\{r+a:a\in A\}$；
• $rA:=\{ra:a\in A\}$；
• $A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}$；
• $AB:=\{ab:a\in A,b\in B\}$。

对非零整数 $m$，把全体整数分成 $|m|$ 个两两不交的集合，且同一个集合中的任意两个数模 $m$ 均同余，我们把这 $|m|$ 个集合均称为模 $m$ 的 同余类 或 剩余类。用 $r\bmod m$ 表示含有整数 $r$ 的模 $m$ 的同余类。

不难证明对任意非零整数 $m$，上述划分方案一定存在且唯一。

由同余类的定义可知：

• $r\bmod m=\{r+km:k\in\mathbf{Z}\}$；
• $r\bmod m=s\bmod m\iff r\equiv s\pmod m$；
• 对任意 $r,s\in\mathbf{Z}$，要么 $r\bmod m=s\bmod m$，要么 $(r\bmod m)\cap (s\bmod m)=\varnothing$；
• 若 $m_1\mid m$，则对任意整数 $r$ 均有 $r+m\mathbf{Z}\subseteq r+m_1\mathbf{Z}$。

注意到同余是等价关系，所以同余类即为同余关系的等价类。

我们把模 $m$ 的同余类全体构成的集合记为 $\mathbf{Z}_m$，即

$$\mathbf{Z}_m:=\{r\bmod m:0\leq r<m\}$$

不难发现：

• 对任意整数 $a$，$a+\mathbf{Z}_m=\mathbf{Z}_m$；
• 对任意与 $m$ 互质的整数 $b$，$b\mathbf{Z}_m=\mathbf{Z}_m$。

由商群的定义可知 $\mathbf{Z}_m=\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$，所以有时我们也会用 $\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$ 表示 $\mathbf{Z}_m$。

由抽屉原理可知：

• 任取 $m+1$ 个整数，必有两个整数模 $m$ 同余。
• 存在 $m$ 个两两模 $m$ 不同余的整数。

由此我们给出完全剩余系的定义：

对 $m$ 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_m$，若对任意的数 $x$，有且仅有一个数 $a_i$ 使得 $x$ 与 $a_i$ 模 $m$ 同余，则称这 $m$ 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_m$ 为模 $m$ 的 完全剩余系，简称 剩余系。

我们还可以定义模 $m$ 的：

• 最小非负（完全）剩余系：$0,\dots,m-1$；
• 最小正（完全）剩余系：$1,\dots,m$；
• 绝对最小（完全）剩余系：$-\lfloor m/2\rfloor,\dots,-\lfloor -m/2\rfloor-1$；
• 最大非正（完全）剩余系：$-m+1,\dots,0$；
• 最大负（完全）剩余系：$-m,\dots,-1$。

若无特殊说明，一般我们只用最小非负剩余系。

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我们注意到如下命题成立：

• 在模 $m$ 的任意一个同余类中，任取两个整数 $a_1,a_2$ 均有 $(a_1,m)=(a_2,m)$。

考虑同余类 $r\bmod m$，若 $(r,m)=1$，则该同余类的所有元素均与 $m$ 互质，这说明我们也许可以通过类似方式得知所有与 $m$ 互质的整数构成的集合的结构。

对同余类 $r\bmod m$，若 $(r,m)=1$，则称该同余类为 既约同余类 或 既约剩余类。

我们把模 $m$ 既约剩余类的个数记作 $\varphi(m)$，称其为 Euler 函数。

我们把模 $m$ 的既约同余类全体构成的集合记为 $\mathbf{Z}_m^*$，即

$$\mathbf{Z}_m^*:=\{r\bmod m:0\leq r<m,(r,m)=1\}$$

注意

对于任意的整数 $a$ 和与 $m$ 互质的整数 $b$，$b\mathbf{Z}_m^*=\mathbf{Z}_m^*$，但是 $a+\mathbf{Z}_m^*$ 不一定为 $\mathbf{Z}_m^*$。这一点与 $\mathbf{Z}_m$ 不同。

由抽屉原理可知：- 任取 $\varphi(m)+1$ 个与 $m$ 互质的整数，必有两个整数模 $m$ 同余。

• 存在 $\varphi(m)$ 个与 $m$ 互质且两两模 $m$ 不同余的整数。

由此我们给出既约剩余系的定义：

对 $t=\varphi(m)$ 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_t$，若 $(a_i,m)=1,~\forall 1\leq i\leq t$，且对任意满足 $(x,m)=1$ 的数 $x$，有且仅有一个数 $a_i$ 使得 $x$ 与 $a_i$ 模 $m$ 同余，则称这 $t$ 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_t$ 为模 $m$ 的 既约剩余系、缩剩余系 或 简化剩余系。

类似地，我们也可以定义最小非负既约剩余系等概念。

若无特殊说明，一般我们只用最小非负既约剩余系。

剩余系的复合

对正整数 $m$，我们有如下定理：

• 若 $m=m_1m_2,~1\leq m_1,m_2$，令 $Z_{m_1},Z_{m_2}$ 分别为模 $m_1,m_2$ 的 完全 剩余系，则对任意与 $m_1$ 互质的 $a$ 均有：

  $$Z_m=aZ_{m_1}+m_1Z_{m_2}.$$

  为模 $m$ 的 完全 剩余系。进而，若 $m=\prod_{i=1}^k m_i,~1\leq m_1,m_2,\dots,m_k$，令 $Z_{m_1},\dots,Z_{m_k}$ 分别为模 $m_1,\dots,m_k$ 的 完全 剩余系，则：

  $$Z_m=\sum_{i=1}^k\left(\prod_{j=1}^{i-1}m_j\right)Z_{m_i}.$$

  为模 $m$ 的 完全 剩余系。

证明

只需证明对任意满足 $ax+m_1y\equiv ax'+m_1y'\pmod{m_1m_2}$ 的 $x,x'\in Z_{m_1}$，$y,y'\in Z_{m_2}$，都有：

$$ax+m_1y=ax'+m_1y'.$$

实际上，由 $m_1\mid m_1m_2$，我们有 $ax+m_1y\equiv ax'+m_1y'\pmod{m_1}$，进而 $ax\equiv ax'\pmod{m_1}$，由 $(a,m_1)=1$ 可知 $x\equiv x'\pmod{m_1}$，进而有 $x=x'$。

进一步，$m_1y\equiv m_1y'\pmod{m_1m_2}$，则 $y\equiv y'\pmod{m_2}$，即 $y=y'$。

因此，

$$ax+m_1y=ax'+m_1y'.$$

• 若 $m=m_1m_2,~1\leq m_1,m_2,(m_1,m_2)=1$，令 $Z_{m_1}^*,Z_{m_2}^*$ 分别为模 $m_1,m_2$ 的 既约 剩余系，则：

  $$Z_m^*=m_2Z_{m_1}^*+m_1Z_{m_2}^*.$$

  为模 $m$ 的 既约 剩余系。

证明

令 $Z_{m_1},Z_{m_2}$ 分别为模 $m_1,m_2$ 的完全剩余系，我们已经证明了

$$Z_m=m_2Z_{m_1}+m_1Z_{m_2}$$

为模 $m$ 的完全剩余系。令 $M=\{a\in Z_m:(a,m)=1\}\subseteq Z_m$，显然 $M$ 为模 $m$ 的既约剩余系，所以我们只需证明 $M=Z_m^*$ 即可。

显然 $Z_m^*\subseteq Z_m$。

任取 $m_2x+m_1y\in M$，其中 $x\in Z_{m_1}$ 且 $y\in Z_{m_2}$，有 $(m_2x+m_1y,m_1m_2)=1$，由 $(m_1,m_2)=1$ 可得

$$1=(m_2x+m_1y,m_1)=(m_2x,m_1)=(x,m_1),$$$$1=(m_2x+m_1y,m_2)=(m_1y,m_2)=(y,m_2).$$

因此可得 $x\in Z_{m_1}^*$ 且 $y\in Z_{m_2}^*$，即 $M\subseteq Z_m^*$。

任取 $m_2x+m_1y\in Z_m^*$，其中 $x\in Z_{m_1}^*$ 且 $y\in Z_{m_2}^*$，有 $(x,m_1)=1$ 且 $(y,m_2)=1$，由 $(m_1,m_2)=1$ 可得

$$(m_2x+m_1y,m_1)=(m_2x,m_1)=(x,m_1)=1,$$$$(m_2x+m_1y,m_2)=(m_1y,m_2)=(x,m_2)=1,$$

因此可得 $(m_2x+m_1y,m_1m_2)=1$，即 $Z_m^*\subseteq M$。

综上所述，

$$Z_m^*=m_2Z_{m_1}^*+m_1Z_{m_2}^*.$$

为模 $m$ 的 既约 剩余系。

数论函数

数论函数（也称算数函数）指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$，且 $f(xy)=f(x)f(y)$ 对任意互质的 $x, y \in\mathbf{N}^*$ 都成立，则 $f(n)$ 为 积性函数。

性质

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

$$\begin{aligned} h(x)&=f(x^p)\\ h(x)&=f^p(x)\\ h(x)&=f(x)g(x)\\ h(x)&=\sum_{d\mid x}f(d)g\left(\dfrac{x}{d}\right) \end{aligned}$$

对正整数 $x$，设其唯一质因数分解为 $x=\prod p_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 为质数。

若 $F(x)$ 为积性函数，则有 $F(x)=\prod F(p_i^{k_i})$。

若 $F(x)$ 为完全积性函数，则有 $F(x)=\prod F(p_i^{k_i})=\prod F(p_i)^{k_i}$。

例子

• 单位函数：$\varepsilon(n)=[n=1]$。（完全积性）
• 恒等函数：$\operatorname{id}_k(n)=n^k$，$\operatorname{id}_{1}(n)$ 通常简记作 $\operatorname{id}(n)$。（完全积性）
• 常数函数：$1(n)=1$。（完全积性）
• 除数函数：$\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}$。$\sigma_{0}(n)$ 通常简记作 $d(n)$ 或 $\tau(n)$，$\sigma_{1}(n)$ 通常简记作 $\sigma(n)$。
• 欧拉函数：$\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[(i,n)=1]$。
• 莫比乌斯函数：$\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\exists d>1,d^{2}\mid n\\(-1)^{\omega(n)}&\text{otherwise}\end{cases}$，其中 $\omega(n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数。

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加性函数

在数论中，若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=0$ 且 $f(xy)=f(x)+f(y)$ 对任意互质的 $x, y \in\mathbf{N}^*$ 都成立，则 $f(n)$ 为 加性函数。

本节中的加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)，应与代数中的 Additive map 做区分。

性质

对正整数 $x$，设其唯一质因数分解为 $x=\prod p_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 为质数。

若 $F(x)$ 为加性函数，则有 $F(x)=\sum F(p_i^{k_i})$。

若 $F(x)$ 为完全加性函数，则有 $F(x)=\sum F(p_i^{k_i})=\sum F(p_i)\cdot k_i$。

例子

为方便叙述，令所有质数组成的集合为 $P$.

• 所有质因子数目：$\Omega(n)=\sum_{p \mid n} [p \in P] \sum_{k=1}^{\lceil\log_p n\rceil} [p^k \mid n \wedge p^{k+1} \nmid n] \cdot k$。（完全加性）
• 相异质因子数目：$\omega(n)=\sum_{p \mid n} [p \in P]$。
• 所有质因子之和：$a_0(n)=\sum_{p \mid n} [p \in P] \sum_{k=1}^{\lceil\log_p n\rceil} [p^k \mid n \wedge p^{k+1} \nmid n] \cdot kp$。（完全加性）
• 相异质因子之和：$a_1(n)=\sum_{p \mid n}[p \in P] \cdot p$。

参考资料与注释

1. 潘承洞，潘承彪。初等数论。北京大学出版社。

Footnotes

1. std::gcd - cppreference.com ↩

2. Are all primes (past 2 and 3) of the forms 6n+1 and 6n-1? ↩

3. Arithmetic operators (C) - cppreference.com ↩

4. Arithmetic operators (C++) - cppreference.com ↩