格雷码

格雷码是一个二进制数系，其中两个相邻数的二进制位只有一位不同。举个例子，$3$ 位二进制数的格雷码序列为

$$000,001,011,010,110,111,101,100$$

注意序列的下标我们以 $0$ 为起点，也就是说 $G(0)=000,G(4)=110$。

格雷码由贝尔实验室的 Frank Gray 于 1940 年代提出，并于 1953 年获得专利。

构造格雷码（变换）

格雷码的构造方法很多。我们首先介绍手动构造方法，然后会给出构造的代码以及正确性证明。

手动构造

$k$ 位的格雷码可以通过以下方法构造。我们从全 $0$ 格雷码开始，按照下面策略：

1. 翻转最低位得到下一个格雷码，（例如 $000\to 001$）；
2. 把最右边的 $1$ 的左边的位翻转得到下一个格雷码，（例如 $001\to 011$）；

交替按照上述策略生成 $2^{k-1}$ 次，可得到 $k$ 位的格雷码序列。

镜像构造

$k$ 位的格雷码可以从 $k-1$ 位的格雷码以上下镜射后加上新位的方式快速得到，如下图（Actually in $\LaTeX$）：

$$\begin{matrix} k=1\\ 0\\ 1\\\\\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix}\\ \color{Red}0\\\color{Red}1\\\color{Blue}1\\\color{Blue}0\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix} k=2\\ {\color{Red}0}0\\{\color{Red}0}1\\{\color{Blue}1}1\\{\color{Blue}1}0\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix}\\ \color{Red}00\\\color{Red}01\\\color{Red}11\\\color{Red}10\\\color{Blue}10\\\color{Blue}11\\\color{Blue}01\\\color{Blue}00 \end{matrix} \to \begin{matrix} k=3\\ {\color{Red}0}00\\{\color{Red}0}01\\{\color{Red}0}11\\{\color{Red}0}10\\{\color{Blue}1}10\\{\color{Blue}1}11\\{\color{Blue}1}01\\{\color{Blue}1}00 \end{matrix}$$

计算方法

我们观察一下 $n$ 的二进制和 $G(n)$。可以发现，如果 $G(n)$ 的二进制第 $i$ 位为 $1$，仅当 $n$ 的二进制第 $i$ 位为 $1$，第 $i+1$ 位为 $0$ 或者第 $i$ 位为 $0$，第 $i+1$ 位为 $1$。于是我们可以当成一个异或的运算，即

$$G(n)=n\oplus \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$$

int g(int n) { return n ^ (n >> 1); }

正确性证明

接下来我们证明一下，按照上述公式生成的格雷码序列，相邻两个格雷码的二进制位有且仅有一位不同。

我们考虑 $n$ 和 $n+1$ 的区别。把 $n$ 加 $1$，相当于把 $n$ 的二进制下末位的连续的 $1$ 全部变成取反，然后把最低位的 $0$ 变成 $1$。我们这样表示 $n$ 和 $n+1$ 的二进制位：

$$\begin{aligned} (n)_2 &= \cdots0\underbrace{11\cdots11}_{k\text{个}}\\ (n+1)_2 &= \cdots1\underbrace{00\cdots00}_{k\text{个}} \end{aligned}$$

于是我们在计算 $g(n)$ 和 $g(n+1)$ 的时侯，后 $k$ 位都会变成 $\displaystyle\underbrace{100\cdots00}_{k\text{个}}$ 的形式，而第 $k+1$ 位是不同的，因为 $n$ 和 $n+1$ 除了后 $k+1$ 位，其他位都是相同的。因此第 $k+1$ 位要么同时异或 $1$，要么同时异或 $0$。两种情况，第 $k+1$ 位都是不同的。而除了后 $k+1$ 位，其他位都是相同的，因此异或后都是 $0$。

证毕。

通过格雷码构造原数（逆变换）

接下来我们考虑格雷码的逆变换，即给你一个格雷码 $g$，要求你找到原数 $n$。我们考虑从二进制最高位遍历到最低位（最低位下标为 $1$，即个位；最高位下标为 $k$）。则 $n$ 的二进制第 $i$ 位与 $g$ 的二进制第 $i$ 位 $g_i$ 的关系如下：

$$\begin{aligned} n_k &= g_k \\ n_{k-1} &= g_{k-1} \oplus n_k &&= g_k \oplus g_{k-1} \\ n_{k-2} &= g_{k-2} \oplus n_{k-1} &&= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \\ n_{k-3} &= g_{k-3} \oplus n_{k-2} &&= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \oplus g_{k-3} \\ &\vdots\\ n_{k-i} &=\displaystyle\bigoplus_{j=0}^ig_{k-j} \end{aligned}$$

int rev_g(int g) {
  int n = 0;
  for (; g; g >>= 1) n ^= g;
  return n;
}

实际应用

格雷码有一些十分有用的应用，有些应用让人意想不到：

• $k$ 位二进制数的格雷码序列可以当作 $k$ 维空间中的一个超立方体（二维里的正方形，一维里的单位向量）顶点的哈密尔顿回路，其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标。

• 格雷码被用于最小化数字模拟转换器（比如传感器）的信号传输中出现的错误，因为它每次只改变一个位。

• 格雷码可以用来解决汉诺塔的问题。

  设盘的数量为 $n$。我们从 $n$ 位全 $0$ 的格雷码 $G(0)$ 开始，依次移向下一个格雷码（$G(i)$ 移向 $G(i+1)$）。当前格雷码的二进制第 $i$ 位表示从小到大第 $i$ 个盘子。

  由于每一次只有一个二进制位会改变，因此当第 $i$ 位改变时，我们移动第 $i$ 个盘子。在移动盘子的过程中，除了最小的盘子，其他任意一个盘子在移动的时侯，只能有一个放置选择。在移动第一个盘子的时侯，我们总是有两个放置选择。于是我们的策略如下：

  如果 $n$ 是一个奇数，那么盘子的移动路径为 $f\to t\to r\to f\to t\to r\to\cdots$，其中 $f$ 是最开始的柱子，$t$ 是最终我们把所有盘子放到的柱子，$r$ 是中间的柱子。

  如果 $n$ 是偶数：$f \to r \to t \to f \to r \to t \to \cdots$

• 格雷码也在遗传算法理论中得到应用。

习题

• CSP S2 2019 D1T1 Difficulty: easy

• SGU #249 Matrix Difficulty: medium

本页面部分内容译自博文 Код Грея 与其英文翻译版 Gray code。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。