括号序列

定义一个合法括号序列（balanced bracket sequence）为仅由 $($ 和 $)$ 构成的字符串且：

• 空串 $\varepsilon$ 是一个合法括号序列。
• 如果 $s$ 是合法括号序列，那么 $(s)$ 也是合法括号序列。
• 如果 $s,t$ 都是合法括号序列，那么 $st$ 也是合法括号序列。

例如 $(())()$ 是合法括号序列，而 $)()$ 不是。

有时候会有多种不同的括号，如 $[()]\{\}$。这样的变种括号序列与朴素括号序列有相似的定义。

本文将会介绍与括号序列相关的经典问题。

注：英语中一般称左括号为 opening bracket，而右括号是 closing bracket。

判断是否合法

判断 $s$ 是否为合法括号序列的经典方法是贪心思想。该算法同样适用于变种括号序列。

我们维护一个栈，对于 $i=1,2,\ldots,|s|$ 依次考虑：

• 如果 $s_i$ 是右括号且栈非空且栈顶元素是 $s_i$ 对应的左括号，就弹出栈顶元素。
• 若不满足上述条件，则将 $s_i$ 压入栈中。

在遍历整个 $s$ 后，若栈是空的，那么 $s$ 就是合法括号序列，否则就不是。时间复杂度 $O(n)$。

合法括号序列计数

考虑求出长度为 $2n$ 的合法括号序列 $s$ 的个数 $f_n$。不妨枚举与 $s_1$ 匹配的括号的位置，假设是 $2i+2$。它将整个序列又分成了两个更短的合法括号序列。因此

$$f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-i-1}$$

这同样是卡特兰数的递推式。也就是说 $f_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$。

当然，对于变种合法括号序列的计数，方法是类似的。假设有 $k$ 种不同类型的括号，那么有 $f'_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}k^n$。

字典序后继

给出合法的括号序列 $s$，我们要求出按字典序升序排序的长度为 $|s|$ 的所有合法括号序列中，序列 $s$ 的下一个合法括号序列。在本问题中，我们认为左括号的字典序小于右括号，且不考虑变种括号序列。

我们需要找到一个最大的 $i$ 使得 $s_i$ 是左括号。然后，将其变成右括号，并将 $s[i+1,|s|]$ 这部分重构一下。另外，$i$ 必须满足：$s[1,i-1]$ 中左括号的数量 大于 右括号的数量。

不妨设当 $s_i$ 变成右括号后，$s[1,i]$ 中左括号比右括号多了 $k$ 个。那么我们就让 $s$ 的最后 $k$ 个字符变成右括号，而 $s[i+1,|s|-k]$ 则用 $((\dots(())\dots))$ 的形式填充即可，因为这样填充的字典序最小。

该算法的时间复杂度是 $O(n)$。

参考实现

bool next_balanced_sequence(string& s) {
  int n = s.size();
  int depth = 0;
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    if (s[i] == '(')
      depth--;
    else
      depth++;

    if (s[i] == '(' && depth > 0) {
      depth--;
      int open = (n - i - 1 - depth) / 2;
      int close = n - i - 1 - open;
      string next =
          s.substr(0, i) + ')' + string(open, '(') + string(close, ')');
      s.swap(next);
      return true;
    }
  }
  return false;
}

字典序计算

给出合法的括号序列 $s$，我们要求出它的字典序排名。

考虑求出字典序比 $s$ 小的括号序列 $p$ 的个数。

不妨设 $p_i<s_i$ 且 $\forall 1\le j<i,p_j=s_i$。显然 $p_i$ 是左括号而 $s_i$ 是右括号。枚举 $i$（满足 $s_i$ 为右括号），假设 $p[1,i]$ 中左括号比右括号多 $k$ 个，那么相当于我们要统计长度为 $|s|-i$ 且存在 $k$ 个未匹配的右括号且不存在未匹配的左括号的括号序列的个数。

不妨设 $f(i,j)$ 表示长度为 $i$ 且存在 $j$ 个未匹配的右括号且不存在未匹配的左括号的括号序列的个数。

通过枚举括号序列第一个字符是什么，可以得到 $f$ 的转移：$f(i,j) = f(i-1,j-1)+f(i-1,j+1)$。初始时 $f(0,0)=1$。其实 $f$ 是 OEIS - A053121。

这样我们就可以 $O(|s|^2)$ 计算字典序了。

对于变种括号序列，方法是类似的，只不过我们需要对每个 $s_i$ 考虑比它小的那些字符进行计算（在上述算法中因为不存在比左括号小的字符，所以我们只考虑了 $s_i$ 为右括号的情况）。

另外，利用 $f$ 数组，我们同样可以求出字典序排名为 $k$ 的合法括号序列。